Tujuan Pembelajaran

---

Fungsi rasional adalah fungsi yang dinyatakan dengan rumus:

\(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\)

dengan \(P(x)\) dan \(Q(x)\) adalah fungsi polinom dan \(Q(x)\) ≠ \(0\).
Ketika menggambar grafik fungsi rasional akan ditemukan suatu garis pembatas kurva yang disebut asimtot.
Asimtot adalah suatu garis lurus yang didekati oleh kurva lengkung dengan jarak semakin lama semakin kecil mendekati nol dijauh tak terhingga. Asimtot juga dapat diartikan dengan sebuah garis lurus yang sangat dekat dengan kurva lengkung di titik jauh tak terhingga. Terdapat 3 jenis asimtot, yaitu sebagai berikut:

1. Asimtot datar adalah garis yang sejajar dengan sumbu \(x\) dengan rumus \(y = \frac{ax + b}{px + q}\) adalah \(y = \frac{a}{p}\). Asimtot datar diperoleh bila \(x\) → ∞
2. Asimtot tegak adalah garis yang sejajar dengan sumbu \(y\), diperoleh apabila penyebut bernilai \(0\).
3. Asimtot miring adalah garis yang tidak sejajar dengan sumbu \(x\) dan sumbu \(y\). asimtot miring hanya untuk fungsi rasional yang pembilangnya mempunyai derajat lebih tinggi satu daripada penyebutnya.

1. Nilai Nol Fungsi
Jika diketahui fungsi \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\), maka nilai \(x\) yang menyebabkan \(f(x) = 0\) disebut nilai nol dari fungsi \(f(x)\). Dapat dibuktikan bahwa jika \(f(x) = 0\), maka \(P(x) = 0\). Jadi, untuk mencari nilai fungsi \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) cukup dicari nilai yang menyebabkan \(P(x) = 0\).
• Contoh 1
1. Tentukan nilai nol dari fungsi \(f(x) = \frac{2x - 6}{2x + 1}\)!
Penyelesaian:
\(P(x) = 0\)
\(2x - 6 = 0\)
\(2x = 6\)
\(x = 3\)
Jadi, nilai nol fungsi \(f(x) = \frac{2x - 6}{2x + 1}\) adalah \(x = 3\).
2. Tentukan nilai nol dari fungsi \(f(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{2x + 3}\)!
Penyelesaian:
\(P(x) = 0\)
\(x^2 - 5x + 6 = 0\)
\((x - 2)(x - 3) = 0\)
\(x = 2\) atau \(x = 3\)
Jadi, nilai nol dari fungsi \(f(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{2x + 3}\) adalah \(x = 2\) dan \(x = 3\)

2. Langkah-Langkah Menggambar Grafik Fungsi Rasional
• Menentukan titik potong dengan sumbu \(x\) dan sumbu \(y\)
• Menentukan asimtot datar, asimtot tegak, dan asimtot miring
• Membuat tabel yang menunjukkan dimana fungsi bernilai positif (grafik terletak di atas sumbu \(x\)) dan fungsi bernilai negatif (grafik terletak di bawah \(sumbu x\))
• Mensketsa kurva grafiknya
• Contoh 2

Gambarlah grafik fungsi \(f(x) = \frac{2x + 2}{x + 1}\)!
Penyelesaian:

1. Titik potong sumbu \(x, y = 0\), maka:
\(0 = 3x + 2\)
\(-2 = 3x\)
\(-\frac{2}{3} = x\) => \((-\frac{2}{3}, 0)\)
Titik potong sumbu \(y, x = 0\)
\(y = 3(0) + 2\)
\(y = 2\) => \((0, 2)\)
2. Asimtot datar \(y = \frac{a}{c} = \frac{3}{1} = 3\)
Asimtot tegak \(y = \frac{-d}{c} = \frac{-1}{1} = -1\)
3. Tabel titik bantu

\(x\)	\(-3\)	\(-2\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(y\)	\(3\frac{1}{2}\)	\(4\)	\(2\)	\(2\frac{1}{2}\)	\(2\frac{2}{3}\)	\(2\frac{3}{4}\)
Titik	\((-3, 3\frac{1}{2})\)	\((-2, 4)\)	\((0, 2)\)	\((1, 2\frac{1}{2})\)	\((2, 2\frac{2}{3})\)	\((3, 2\frac{3}{4})\)

4. Sketsa grafik