1. Siswa dapat memahami operasi fungsi invers
2. siswa dapat memahami sifat-sifat fungsi invers
3. Siswa dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan invers pada suatu fungsi

1. Suatu fungsi \(f\): A → B dikatakan fungsi invers \(f¯^1\): B → A jika dan hanya jika fungsi \(f\) merupakan fungsi bijektif.
2. Misalkan \(f¯^1\) merupakan fungsi invers fungsi \(f\). untuk setiap \(x\) ∈ \({D}_{f}\) dan \(y\) ∈ R, berlaku \(y = f(x)\) jika dan hanya jika \(f¯^1(y) = x\).
3. Misalkan \(f\) sebuah fungsi bijektif dengan daerah asal \({D}_{f}\) dan daerah hasil \({R}_{f}\) sedangkan I\((x) = \)x merupakan fungsi identitas. Fungsi \(f¯^1\) merupakan fungsi invers dari fungsi \(f\) jika dan hanya jika
\((f\) ⚬ \(f¯^1(x)) = x\) = I\((x)\) untuk setiap \(x\) ∈ \({D}_{f}\), dan \((f¯^1 ⚬ f)(x) = x\) = I\((x)\) untuk setiap \(x\) ∈ \({R}_{f}\)
4. Jika \(f\) sebuah fungsi bijektif dan \(f¯^1\) merupakan fungsi invers \(f\), maka fungsi invers dari \(f¯^1\) adalah fungsi \(f\) itu sendiri, dan dapat disimbolkan dengan
\((f¯^1)¯^1\) = \(f\)
5. Jika \(f\) dan \(g\) fungsi bijektif maka berlaku
\((f\) \(⚬\) \(g)¯^1\) = \((g¯^1\) \(⚬\) \(f¯^1)\) dan \((g\) \(⚬\) \(f)¯^1\) = \((f¯^1\) \(⚬\) \(g¯^1)\)
Jika \(f, g\), dan \(h\) fungsi bijektif maka berlaku
\((f\) \(⚬\) \(g\) \(⚬ h)¯^1\) = \((h¯^1\) \(⚬\) \(g¯^1\) \(⚬ f¯^1)\)

• Contoh 1
• Contoh 2

Diketahui fungsi \(f\) dan \(g\) adalah fungsi bijektif yang ditentukan dengan \(f(x) = 2x + 5\) dan \(g(x) = x - 2\). Tentukanlah

1. \((f\) \(⚬\) \(g)¯^1(x)\)
2. \((g\) \(⚬\) \(f)¯^1(x)\)

Penyelesaian:

1. \((f\) \(⚬\) \(g)¯^1(x)\)
Menentukan rumus fungsi komposisinya terlebih dahulu
\((f\) \(⚬\) \(g)(x)\) = \(f(g(x))\)
= \(f(x - 2)\)
= \(2(x - 2) + 5\)
= \(2x + 1\)
Kemudian menentukan fungsi invers
Misal \(y\) = \((f\) \(⚬\) \(g)(x)\) = \(2x + 1\)
\(y - 1\) = \(2x\)
\(2x\) = \(y - 1\)
\(x\) = \(\frac{y - 1}{2}\)
\((f\) \(⚬\) \(g)¯^1(x)\) = \(\frac{x - 1}{2}\)
Jadi, \((f\) \(⚬\) \(g)¯^1(x)\) = \(\frac{x - 1}{2}\)
2. \((g\) \(⚬\) \(f)¯^1(x)\)
Menentukan invers masing-masing fungsi terlebih dahulu
Misal \(y\) = \(f(x)\) = \(2x + 5\)
\(y - 5\) = \(2x\)
\(2x\) = \(y - 5\)
\(x\) = \(\frac{y - 5}{2}\)
\(f¯^1(x)\) = \(\frac{x - 5}{2}\)

Misal \(y\) = \(g(x)\) = \(x - 2\)
\(y + 2\) = \(x\)
\(g¯^1(x)\) = \(x + 2\)
Kemudian fungsi invers di atas dikomposisikan
\((g\) \(⚬\) \(f)¯^1(x)\) = \((f¯^1\) \(⚬\) \(g¯^1)(x)\)
= \(f¯^1(g¯^1(x))\)
= \(f¯^1(x + 2)\)
= \(\frac{(x + 2) - 5}{2}\)
= \(\frac{x- 3}{2}\)
Jadi, \((g\) \(⚬\) \(f)¯^1(x)\) = \(\frac{x- 3}{2}\)