1. Siswa dapat memahami operasi fungsi invers
2. siswa dapat memahami sifat-sifat fungsi invers
3. Siswa dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan invers pada suatu fungsi

1. Suatu fungsi $f$: A → B dikatakan fungsi invers $f{¯}^1$: B → A jika dan hanya jika fungsi $f$ merupakan fungsi bijektif.
2. Misalkan $f{¯}^1$ merupakan fungsi invers fungsi $f$. untuk setiap $x$ ∈ $D_f$ dan $y$ ∈ R, berlaku $y=f(x)$ jika dan hanya jika $f{¯}^1(y)=x$.
3. Misalkan $f$ sebuah fungsi bijektif dengan daerah asal $D_f$ dan daerah hasil $R_f$ sedangkan I$(x)=$x merupakan fungsi identitas. Fungsi $f{¯}^1$ merupakan fungsi invers dari fungsi $f$ jika dan hanya jika
$(f$ ⚬ $f{¯}^1(x))=x$ = I$(x)$ untuk setiap $x$ ∈ $D_f$, dan $(f{¯}^1⚬f)(x)=x$ = I$(x)$ untuk setiap $x$ ∈ $R_f$
4. Jika $f$ sebuah fungsi bijektif dan $f{¯}^1$ merupakan fungsi invers $f$, maka fungsi invers dari $f{¯}^1$ adalah fungsi $f$ itu sendiri, dan dapat disimbolkan dengan
$(f{¯}^1){¯}^1$ = $f$
5. Jika $f$ dan $g$ fungsi bijektif maka berlaku
$(f$ $⚬$ $g){¯}^1$ = $(g{¯}^1$ $⚬$ $f{¯}^1)$ dan $(g$ $⚬$ $f){¯}^1$ = $(f{¯}^1$ $⚬$ $g{¯}^1)$
Jika $f,g$, dan $h$ fungsi bijektif maka berlaku
$(f$ $⚬$ $g$ $⚬h){¯}^1$ = $(h{¯}^1$ $⚬$ $g{¯}^1$ $⚬f{¯}^1)$

• Contoh 1
• Contoh 2

Diketahui fungsi $f$ dan $g$ adalah fungsi bijektif yang ditentukan dengan $f(x)=2x+5$ dan $g(x)=x-2$. Tentukanlah

1. $(f$ $⚬$ $g){¯}^1(x)$
2. $(g$ $⚬$ $f){¯}^1(x)$

Penyelesaian:

1. $(f$ $⚬$ $g){¯}^1(x)$
Menentukan rumus fungsi komposisinya terlebih dahulu
$(f$ $⚬$ $g)(x)$ = $f(g(x))$
= $f(x-2)$
= $2(x-2)+5$
= $2x+1$
Kemudian menentukan fungsi invers
Misal $y$ = $(f$ $⚬$ $g)(x)$ = $2x+1$
$y-1$ = $2x$
$2x$ = $y-1$
$x$ = $\frac{y-1}{2}$
$(f$ $⚬$ $g){¯}^1(x)$ = $\frac{x-1}{2}$
Jadi, $(f$ $⚬$ $g){¯}^1(x)$ = $\frac{x-1}{2}$
2. $(g$ $⚬$ $f){¯}^1(x)$
Menentukan invers masing-masing fungsi terlebih dahulu
Misal $y$ = $f(x)$ = $2x+5$
$y-5$ = $2x$
$2x$ = $y-5$
$x$ = $\frac{y-5}{2}$
$f{¯}^1(x)$ = $\frac{x-5}{2}$

Misal $y$ = $g(x)$ = $x-2$
$y+2$ = $x$
$g{¯}^1(x)$ = $x+2$
Kemudian fungsi invers di atas dikomposisikan
$(g$ $⚬$ $f){¯}^1(x)$ = $(f{¯}^1$ $⚬$ $g{¯}^1)(x)$
= $f{¯}^1(g{¯}^1(x))$
= $f{¯}^1(x+2)$
= $\frac{(x+2)-5}{2}$
= $\frac{x-3}{2}$
Jadi, $(g$ $⚬$ $f){¯}^1(x)$ = $\frac{x-3}{2}$